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随机过程

作者:火星哥      2016-01-08 15:31:12     来源:火星彩票网

随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描述。随机过程论与其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系,是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用,在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。

有一个非常有趣的故事可以阐述清楚随机过程的重要性。

在一所药品研究院中进行了一种新药的试验。试验过程使用新药以及安慰剂对人群进行试验。得出来的初步数据如下:


有效

无效

总计

新药

80

120

200

安慰剂

100

100

200

理论上来说,新药的药效肯定会比安慰剂的效果好一些。怎么会出现这样的统计结果呢?研究人员按照性别又做了一次统计:


男性有效

男性无效

女性有效

女性无效

新药

35

15

45

105

安慰剂

90

60

10

40

大家可以实际算一下,对于男性来说,70%的人都有效,而安慰剂只是60%。对于女性来说,新药对30%的人有效,而安慰剂只有20%的人认为有效。所以非常滑稽的一幕出现了,这种新药,对于男性有效,对于女性有效,但是对于整个人类无效!

这种事情不是特例,生活中经常会发现,比如,两所高校,A学校每个院系的女生比例都比B学校的女生比例高,可是整体来看,A学校的女生比例却低于B学校的女生比例。如果是你来选择,你会选择去A学校呢,还是去B学校呢?

这两个例子本身,都是违反随机过程的整体调查。由此可见,在真实严谨的科学计算中,随机过程的选择是有多么的重要!

一般来说,把一族随机变量定义为随机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律,从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。

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随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究,如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究,及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后,马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量,后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义,直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年,柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》,1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》,这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年,杜布出版了名著《随机过程论》,系统且严格地叙述了随机过程基本理论。

一个实际的随机过程是任意一个受概率支配的过程,例子有:①看做是受孟德尔遗传学支配的群体的发展;②受分子碰撞影响的微观质点的布朗运动,或者是宏观空间的星体运动;③赌场中一系列的赌博;④公路一指定点汽车的通行。

在每一种情形,一个随机系统在演化,这就是说它的状态随着时间而改变,于是,在时间t的状态具有偶然性,它是一个随机变量x(t),参数t的集通常是一个区间(连续参数的随机过程)或一个整数集合(离散参数的随机过程)。然而,有些作者只把随机过程这个术语用于连续参数的情形。

 

如果系统的状态用一个数来表示,x(t)就是数值的,在其他情形,x(t)可以是向量值或者更为复杂。在本条的讨论中,通常限于数值的情形。当状态变化时,它的值确定一个时间的函数——样本函数,支配过程的概率规律确定赋予样本函数的各种可能性质的概率。

 

数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程,是因为它是实际随机过程的数学模型,或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。数学上的随机过程可以简单的定义为一族随机变量,即指定一参数集,对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数,以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点,并以x(t,ω)表示随机变量在ω的值,则随机过程就由刚才定义的点偶(t,ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t,这个二元函数就定义一个ω的函数,即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω,这个二元函数就定义一个t的函数,这是过程的样本函数。

 

一个随机过程的概率分配通常是由指定它的随机变量的联合分布来给定的,这些联合分布以及由它们诱导出来的概率可以解释为样本函数的性质的概率。例如,如果to是一个参数值,样本函数在to取正值的概率是随机变量x(to)有正值的概率。在这个水平上的基本定理:任意指定的自身相容的联合概率分布对应一随机过程。

 

随机过程的概念很广泛,因而随机过程的研究几乎包括概率论的全部。虽然不能给出一个有用而又狭窄的定义,但是概率论工作者在使用随机过程这个术语时,通常(除非他的兴趣在于一般理论的数学基础)想到的是其随机变量具有某种有意义的相互关系的随机过程,例如,独立性就是这样一种关系。在提出随机过程这个术语之前,独立变量序列就是研究了很长时间的一类随机过程。由于历史上的原因,一般不把这样的序列看做是随机过程(虽然后面将要讨论它的连续参数的类似物——具有独立增量的过程,它被看做是随机过程)。本条的余下部分是对某些特殊的随机过程类作一般的论述,由于这些过程类在数学上和非数学上的应用中十分重要,所以它们已引起了人们的极大注意。

 

最终得到一个标准的定义:随机过程 stochastic process

一个受概率规律支配的状态变化序列,其状态随时间变化,但在时刻t的状态x(t)是一个随机变量[x(t)可以是数值、向量值或更复杂的情形]。数学上的随机过程是实际随机过程的数学模型,是一族具有某种有意义的相互关系的随机变量的值,它由概率的分配所确定。在化工过程设计中较重要的随机过程有马尔可夫过程、布阿松过程等。


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