火星首页> 软件理念>当前正文

数学与哲学

作者:火星哥      2016-01-08 15:54:16     来源:火星彩票网

a.      古代的数学哲学

关于数学与哲学的关系,不仅仅是近代才有的,自从有了人类,就有了数学,也就有了哲学。世界上各个国家对于数学与哲学的研究殊途同归,我国本土哲学的代表,道家,对数学也是情有独钟。

很多人都应该知道太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,八卦生万物的说法。有精通古代哲学的,可能也会听说过一生二,二生三,三生万物的哲学观点。下面这首关于数字的说法,相信大多数人都没有听过,但是每一个名词,炎黄子孙华夏儿女应该至少都会有所耳闻:


   pic_03.png

无极生太极,太极生两仪。

两仪生三才,三才生四象。

四象生五行,五行生六合。

六合生七星,七星生八卦。

八卦生九宫,一切归十方。


道家不仅研究数字变化,而且为每一个数字单独赋予哲学意义。

天地初开,一切皆为混沌,是为无极,无初无终,是为一元(圆)。一元无大小,可始可终,号太极。清者始浊者终,一生为天,一落为地,两仪初分,阴阳交合,三才始现。生老病死,太阳太阴,少阳少阴,此四象。或用之金木水火土,五行齐备,分上下东南西北六合,盖因喜怒哀乐爱恶欲,观七星,得八卦,布九宫,归十方。

与西方数学之:一切皆数,不谋而合。不仅在理论上,实际还用于解释万物构成,迷信说法用于通晓阴阳,预知未来,并实际用于指导人们的生活和行为。

b.     数学与悖论

   数学还不是一门完美的学科,理论上讲,也不会存在完美协调的学科。数学历史上有三个重要的悖论,每一个悖论的发现,都曾引起数学界的震动。

  第一次数学危机:希伯斯悖论。

   公元前六世纪,古希腊有个著名的学派叫做毕达哥拉斯学派,其创始人毕达哥拉斯 (Pythagoras)是当时著名数学家与哲学家。在此学派的兴盛期,毕达哥拉斯的思想是绝对权威的真理。由他本人提出的著名命题“万物皆数”(这里的数指整数)是该学派的重要基石,他们的信仰是:世界上的一切都可归结为整数或整数之比,而且这一思想也被当时的人们所普遍接受。这个学派后来又发现了毕达哥拉斯定理(即勾股定理)。

  正是由勾股定理,毕达哥拉斯学派的一个成员,发现了一个奇怪的事实:边长为1的等腰pic_04.png直角三角形的斜边长无法用整数或者整数之比来表示。证明过程也很简单。假设斜边长为X并且可以表示为两个自然数m和n的比值(m、n既约)也就是:X=m/n 。那么X2=m2/n2由勾股定理可以得出,X2=12+12=2. 那么m2=2n2 那么,m2必是偶数,也就是m必然是偶数,但是m和n既约,所以n必然是奇数,可是等式左侧是偶数的平方,所以必然是4的倍数,右侧奇数的二倍,必然不会是4的倍数。矛盾。

   正是因为希伯斯发现了这个问题,被毕达哥拉斯学派的其他成员追杀,最终被杀害并抛尸地中海。

  第二次数学危机:贝莱克悖论。

在牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)创立微积分学的时期,尽管它的成果丰硕,但其理论基础相当薄弱,出现了越来越多的悖论,pic_05.png常常有不能自圆其说的情况。更由于十八世纪时的西方数学观念主要渊源于古希腊文化,如上所说,此时的科学家已非常注重推理逻辑的严密性;但是微积分学中对于无穷小量的应用却是完全建立在使用的有效性之上,更多人是将无穷小量作为一种解题技巧来使用而不去研究其严密性。因此,微积分学中的逻辑严密性遭到了当时不少人的猛烈抨击,如贝克莱(Berkeley)、格兰弟(Grandi)以及芝诺(Zeno)等人。

其中著名的唯心主义哲学家贝克莱主教提出的悖论,是对基础有缺陷的微积分学最强

有力的批评。贝克莱不仅是一位哲学家,而且他精通数学,为了维护宗教利益,他挑出了当时牛顿、莱布尼茨理论中一些不严格的地方大肆攻击,并曾在他的著作《分析学者》一书中专门批评了牛顿的求导过程不正确,其核心就是x的无穷小的增量 Δ x 究竟是否等于0。从无穷小量在牛顿的运算过程中的使用来看,要作为除数它必须不是0,但最后又要把它当作是 0 而忽略。但从一般人的认知上讲,是 0 或非 0 的确是一个矛盾。这一悖论的提出,在当时的数学界乃至整个社会都引起了一片混乱,由此导致了第二次数学危机的产生。

第三次数学危机:罗素悖论。

1874年,德国数学家康托尔(Cantor)创立了一门崭新的数学分支——集合论,它可以算是最基础的数学学科。说得大一点,它不仅是一切数学的基础,而且还是其它科学的基础。但集合论的严密性受到了一部分数学家的怀疑,其中包括一位英国哲学家罗素(Russell)。他苦思冥想了三年,终于找到了一个证明自己观点的简单明确的表达方式——罗素悖论。

基于康托尔集合论中的定义:一个元素要么属于某集,要么不属于它。

罗素的悖论描述如下:

集合可分为两种:一种是本身分子集的(自谓的),比如“一切集合组成的集合”也是一个集合,所以它必为该集合自身的一个元素,所以是一个本身分子集;第二种是非本身分子集,比如自然数集绝不是某个自然数,既非自谓的。这样一来任给一个集合,它不是本身分子集就是非本身分子集,二者必居其一。现在设 A 是一切非本身分子集之集,试问 A 是哪一种集合?事实上,若假设 A 是一个本身分子集,则 A 为自身的一个元素,而 A 中每一个元素皆为 非本身分子集,故 A 亦为一个非本身分子集。与假设矛盾。若假设 A 是一个非本身分子集, 则由 A 的定义知 A∈A,故这恰符合本身分子集的定义,所以 A 又是一本身分子集。又与假 设矛盾。总之,这与“A 应该二者必居其一”矛盾。

可能罗素悖论看起来有些难以理解,但是哲学中也有很多类似的描述。理解起来可能就会容易一些:

理发师悖论:某村子有一个手艺高超的理发师,pic_06.png他只给这个村子中,一切不给自己理发的人理发。那么,他给不给自己理发?如果他给自己理发,他就不是一个给自己理发的人,那么他就不应该给自己理发;如果他不给自己理发,那么他就是一个不给自己理发的人,所以他又应该给自己理发。

同理,还有:

公元前六世纪,克里特岛的哲学家埃庇米尼得斯(Epimenides)说:“所有克利特人都说谎,他们中间的一个诗人这么说。”

再简单一些,那就是一句话:“我现在正在说谎”。

由上面这句话可以推出一个结论:如果我说的是真的,那我说的就是假的。人类的语言以及逻辑,可能还理解不了这个结论。但是它又是这么清除直接,简单地摆在那里。所以才能最终引发著名的第三次数学危机,直接导致集合论的破而后立。

数学哲学范畴

数学不是一门简单的学科,而是一系列探索和总结人类发现自然奥秘的经验。但是迄今为止,关于数学是什么的话题,永远只能停留在哲学范畴。数学不是万能的,最简单的边长为1的等腰直角三角形的斜边长度,可以明明白白的摆在纸上,但是却无法用精确的数字去描述,无法凭空绘制一条这样长度的线段。所以,数学是一种工具,三次数学危机却直接导致了工具的升华,从无理数的发现,到微积分系统建立,再到集合论的不断完善,数学实在不断发展和完善中的一些经验的积累而已。数学,没有那么神秘!

a.      数学包含的学科

  数学包含的学科很多,不要认为学习了高等数学、立体几何、离散数学、概率论、线性代数、微积分…就学完了数学。让我们来看一看,我们国家,暂行的数学专业有多少个:

pic_07.png

 

b.     计算机与数学

   计算机是数学的产物。

说计算机是数学的产物一点都不夸张。人称计算机之父的阿兰·麦席森·图灵,提出了“图灵机”的概念,制定了计算机逻辑基础,造出了第一台图灵机。直到现在,图灵奖还是计算机圈内的最高奖。可是,图灵在介绍自己或者被人介绍的时候,总是会说,他是一位英国数学家、逻辑学家,被称为计算机之父,人工智能之父。还有一位现代计算机之父,约翰·冯·诺依曼。他是20世纪最重要的数学家之一,同时,他还是一位哲学家。他所制定的计算机工作原理,直到现在还在被各种电脑广泛利用着。

计算机正在改变数学和哲学。

计算机科学技术迅速发展,机器的智能化程度越来越高。但你要和谁说,计算机能解数学题,而且给的解法跟人的解法近似或者更简洁优美,这是很难令人信服的。世界上研究计算机推理的一流学者们,曾经普遍认为这是不可能的。pic_08.png

但是计算机是人的学生。它的本领是人教的。它是笨学生,不教不会。但它又是好学生,只要教一遍,永不忘记。如果你循循善诱,它就能青出于蓝。在现今社会,计算机的发展,特别是机器证明的出现,给数学和哲学带来的影响是巨大而深刻的。

在用机器证明的数学定理中,最为人津津乐道的当属四色定理:

“任何一张地图,只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”,用数学语言描述:“将平面任意细分为不相重叠的区域,每一个区域总可以用1,2,3,4之一来标记,而不会使相邻的两个区域有相同的数字。”

100多年过去了,四色定理难倒了无数的数学家。1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯借助计算机,用了1200个小时,做了上百亿次判断,终于完成四色定理的证明,轰动全世界。美国专门为此发行了一枚纪念邮票:四种颜色就够了!但是有很多人反对,他们认为计算机证明,破坏了数学的优美。“一个好的数学证明就像一首诗,而这纯粹就是一本电话簿!”,计算机作为数学研究的辅助工具,这本身就是一种进步。



分享到:
最少输入3个字 回复

你可能感兴趣的文章更多